Medizinische Tests im Mathematikunterricht der Einführungsphase

Dieser Artikel soll Ihnen einen kleinen Eindruck vom Stochastikunterricht in der Einführungsphase vermitteln. Der sinnstiftende Kontext "Medizinische Tests" ist sowohl bei Schülerinnen und Schülern als auch dem Lehrer beliebt, da die Ergebnisse überraschend, schockierend und gleichzeitig lebenspraktisch relevant sind sowie kritisches Denken exemplarisch fördern.

Jeder und jede von uns muss sich in unserem Leben immer wieder mit der Frage auseinandersetzen, ob es sinnvoll ist, sich einer Vorsorge- oder Screeninguntersuchung zu unterziehen. Die Sachlage ist vertrackter, als man auf den ersten Blick denken mag und als auch mancher Arzt seinen Patienten gegenüber darstellt.

Vorsorge soll eine Krankheit verhindern, bevor sie überhaupt ausbricht. Ein Beispiel wäre die Darmspiegelung ab 55 im Rahmen der Krebsvorsorge, da hier Vorstufen gefunden und entfernt werden können, bevor sie sich überhaupt zu Krebs entwickeln [1] .

Screening hingegen soll bestehende Krankheiten erkennen, aber möglichst so früh, dass man sie noch behandeln oder heilen kann, bevor sie bleibende Schäden verursachen oder tödlich verlaufen. Dies ist gar nicht bei allen Erkrankungen möglich und schon gar nicht für jede Erkrankung sinnvoll: Stellen Sie sich z.B. vor, man würde eine Erkrankung 10 Jahre bevor diese überhaupt Beschwerden verursacht erkennen. Die Erkrankung ist aber nicht behandelbar. Es ist eine sehr individuelle Entscheidung, ob man solch eine Information überhaupt haben möchte.
Zusätzlich besteht auch die Gefahr einer sog. Überdiagnose: Man kann auch erkrankt sein, ohne dass diese Erkrankung jemals Beschwerden verursachen würde - dies ist auch der Grund, warum in manchen Fällen aktive Überwachung die sinnvollste Option ist [2] .

Vorsorge und Screening sind daher nicht per se positiv zu bewerten, sondern müssen an ihren tatsächlichen Erfolgen gemessen werden.

Aus mathematischer Sicht entstehen weitere Probleme dadurch, dass Tests niemals zu 100% zuverlässig sind. Eine falsch-positive Diagnose führt im harmlosesten Fall zu persönlicher Betroffenheit und eingeschränkter Leistungsfähigkeit bis zur Entwarnung. Im schlimmsten Fall wird aber eine unnötige Behandlung eingeleitet. Die Problematik lässt sich in der Einführungsphase gut und altersgerecht anhand des HIV-Tests aufzeigen, da unsere Schülerinnen und Schüler bereits aus dem Biologieunterricht mit dem Thema HIV und AIDS vertraut sind.

In französischen Apotheken kann man rezeptfrei einen Schnelltest auf HIV kaufen. In der Packungsbeilage findet man folgende Informationen:

  • Wenn man infiziert ist, dann ist der Test zu 99,1% positiv (Sensitivität).
  • Wenn man nicht infiziert ist, dann ist der Test zu 99,5% negativ (Spezifität).

Bevor Sie weiterscrollen:

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig getesteter Mensch aus Deutschland HIV-positiv ist, wenn der Test positiv ausfällt?

Schreiben Sie - bitte spontan und rein nach Bauchgefühl! - einen Wert zwischen 0% und 100% auf einen Zettel.

Scrollen Sie bitte erst weiter, nachdem Sie einen Wert notiert haben.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Um die Frage überhaupt sinnvoll beantworten zu können, müssen wir wissen, wie viele Menschen in Deutschland mit HIV infiziert sind. Epidemiologischen Daten des Robert-Koch-Instituts zufolge sind dies geschätzt 0,1% der Bevölkerung (tatsächlich 0,11% [3] ).

Wir können also für unsere Rechnung davon ausgehen, dass es in Deutschland 80.000 infizierte und 79.920.000 nicht-infizierte Menschen gibt.

Anstatt nun mit Wahrscheinlichkeiten zu rechnen, machen wir uns zunutze, dass Menschen viel besser mit absoluten Zahlen umgehen können. Die kognitionspsychologischen Grundlagen dazu findet man bei Interesse in der Doktorarbeit von Christoph Wassner [4] .

Wir stellen uns also vor, was passiert, wenn wir alle Menschen aus Deutschland testen würden. Es ist nützlich, sich vorher klar zu machen, dass vier Fälle auftreten können:

  • Ein Mensch ist HIV-positiv und der Test fällt richtig-positiv aus.
  • Ein Mensch ist HIV-positiv und der Test fällt falsch-negativ aus.
  • Ein Mensch ist HIV-negativ und der Test fällt richtig-negativ aus.
  • Ein Mensch ist HIV-negativ und der Test fällt falsch-positiv aus.

Bei den 80.000 Infizierten fällt der Test zu 99,1% positiv aus, d.h. es gibt 79.280 Menschen, die HIV-positiv sind und bei denen auch der Test positiv ausfällt. 720 Menschen sind HIV-positiv, aber der Test liefert ein falsch-negatives Ergebnis.

Wie sieht es nun bei der Gegenseite aus, den HIV-negativen Menschen? 99,5% der HIV-negativen erhalten ein richtig-negatives Ergebnis; dies sind 79.520.400 Personen. Das bedeutet aber gleichzeitig, dass 399.600 Personen ein falsch-positives Ergebnis erhalten.

Die Ergebnisse können wir übersichtlich in einer Vierfeldertafel darstellen:

 

HIV-positiv

HIV-negativ

gesamt

Test-positiv

79.280

399.600

478.880

Test-negativ

720

79.520.400

79.521.120

gesamt

80.000

79.920.000

80.000.000

 

Anschaulich im Wortsinne werden die Ergebnisse aber erst durch folgende Abbildung, in der das große Quadrat 80 Millionen Menschen darstellt:

 

Dabei entspricht das rote Quadrat den 399.680 falsch-positiv Getesteten und das blaue Quadrat den 79.280 richtig-positiv Getesteten. Was Sie ggf. für eine Verschmutzung Ihres Displays halten, sind die 720 falsch-negativ Getesteten, die unvermeidlich durchs Raster fallen.

Von den 478.880 Menschen, deren Test positiv ausfällt, sind nur 79.280 tatsächlich krank - das sind lediglich 16,6% der positiv getesteten und bestimmt viel weniger, als Sie eingangs geschätzt haben. Im Kurs lag die Schätzung bei über 90%. Damit sind wir alle (leider) nicht allein: Gerd Gigerenzer hat derartige Fragen auf Ärztekongressen gestellt und ähnlich falsche Ergebnisse erhalten, obwohl gerade Ärzte sich mit der Sicherheit der von ihnen durchgeführten Tests auskennen sollten [5]. Der Grund dafür ist, dass wir die Prävalenz ignorieren, d.h. wie oft die Erkrankung tatsächlich auftritt: Weil "fast alle" in Deutschland HIV-negativ sind, genügt eine Spezifität von 99,5% für einen solchen Test nicht, weil viel mehr falsch-positive als richtig-positive Ergebnisse zustandekommen.

Der Begriff, der hiermit im Unterricht gebildet werden soll, ist die "bedingte Wahrscheinlichkeit": Es geht um die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, unter der Bedingung, dass der Test positiv ausgefallen ist. In der Packungsbeilage ist die Reihenfolge allerdings umgekehrt: Die Bedingung ist, dass man schon weiß, dass die Testperson erkrankt ist. Es geht also nicht mehr um die Bezugsgröße "Gesamtbevölkerung" sondern nur noch um einen Teil der Bevölkerung. Wir schreiben im Unterricht:

P ( Test+ | HIV+ ) = 99,1%  (Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, wenn man HIV-positiv ist)

P ( HIV+ | Test+ ) = 79.280 / 478.880 = 16,6%  (Wahrscheinlichkeit, dass man HIV-positiv ist, wenn der Test positiv ausgefallen ist)

Man muss sich klar machen, dass der Test in Bezug auf die Gesamtbevölkerung eine Zusatzinformation liefert: Eine zufällig herausgegriffene Person ist mit Wahrscheinlichkeit 0,1% erkrankt. Fällt der Test nun positiv aus, so steigt die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person erkrankt ist, auf 16,6%. Aus individueller Sicht ist das aber noch viel zu schlecht, und die Realität ist noch vertrackter, da die hier verwendeten Wahrscheinlichkeiten durch weitere Vorinformationen modifiziert werden: Wer z.B. keinen Kontakt zu Übertragungswegen hatte, ist mit Sicherheit nicht erkrankt, und zwar unabhängig davon, was der Test aussagt.

Um feststellen zu können, wie sich die Wahrscheinlichkeit auf ein richtig-positives Testergebnis mit steigenden Anzahl an Erkrankten innerhalb einer Bevölkerung (Prävalenz) erhöht, ersetzt man die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Person erkrankt ist, durch x. Statt 80.000 Erkrankten bei x = 0.001 schreibt man nun allgemein 80.000.000 x. Hat man vorher 80.000 (Anzahl der HIV-Positiven in Deutschland) mal 99.1% (Wahrscheinlichkeit auf ein richtiges Testergebnis) gerechnet, so ersetzt man nun 80.000 durch 80.000.000 ∙ x.

Als Ergebnis erhält man die Zahl der richtig HIV-positiv Getesteten in Deutschland:
80.000.000 x ∙ 0.991 = 79.280.000 x.

Man wiederholt dies für die HIV-Negativen, wobei hier zu beachten ist, dass die gesamte Bevölkerung 100% darstellt. Teilt man diese 100% in HIV-Positive und HIV-Negative, so müssen diese zusammen immer noch 100% ergeben. Daraus folgt, dass die Anzahl der HIV-Negativen in Deutschland durch 80.000.000 ∙ (1-x) beschrieben wird.

Nun rechnet man mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5%, dass der Test falsch-positiv anzeigt:
80.000.000 ∙ (1-x) ∙ 0.005 = 400.000 ∙ (1-x).

Die Summe beider Ergebnisse bildet die Anzahl der insgesamt positiv getesteten Menschen in Deutschland:
79.280.000 x + 400.000 ∙ (1-x) = 78.880.000 x + 400.000.

Deswegen dividiert man nun die richtig-positiv Getesteten durch die Anzahl der insgesamt positiv Getesteten Menschen, um die Wahrscheinlichkeit auf ein richtiges Testergebnis zu erhalten. Dies ergibt:

P(HIV+|Test+)= 79.280.000 x / ( 78.880.000 x + 400.000 ) 0.991 x / ( 0.986 x + 0.005 ).

Lässt man diese Funktion nun graphisch darstellen, so erhält man folgenden Graph:

Es muss ausschließlich der Bereich von 0 bis 1 (entspricht 100%)  auf der x- und y-Achse betrachtet werden, da eine über hundertprozentig infizierte Gesellschaft (x-Achse) im Sachzusammenhang ebensowenig Sinn ergeben würde wie ein zu 120% richtig-positiver Test (y-Achse).

Es ist zu erkennen, die Wahrscheinlichkeit für einen richtig-positiven HIV-Test mit steigender Zahl von HIV-Infizierten in der Testgruppe schlagartig steigt. Um diese Entwicklung nun verstehen zu können, muss man sich erneut vor Augen führen, warum der HIV-Test überhaupt so schlecht abschneidet, würde man ihn an der gesamten deutschen Bevölkerung durchführen: Dies liegt daran, dass die Fehlerquote des Tests im Verhältnis zur geringen Wahrscheinlichkeit, wirklich infiziert zu sein, vergleichsweise hoch liegt. Steigt also die Zahl der Infizierten in der Bevölkerung, so erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Test richtig liegt, dramatisch.

Der Test wird also durch eine geeignete Vorauswahl der zu testenden Personen zuverlässiger. Betrachtet man z.B. Teilpopulationen wie intravenös Drogen konsumierende Personen, so liegt die Prävalenz dort bei 3-6% [6] . Der vergrößerte Ausschnitt des Graphen zeigt, dass hier die Wahrscheinlichkeit, bei einem positiven Testergebnis auch wirklich erkrankt zu sein bei über 85% liegt:

 

Es gibt also gute Argumente dafür, dass ein HIV-Test nicht frei verkäuflich sein sollte und auch ein Screening auf HIV in Deutschland mit einem solchen Test sinnlos ist. Stattdessen wird hierzulande ein Labortest durchgeführt, der etwa so gut ist wie der freiverkäufliche aus dem Beispiel. Fällt nun der erste Test positiv aus, so folgt im Labor sofort ein zweiter Test mit Sensitivität 99,8% und Spezifität 99,9%. Wir laden Sie dazu ein, sich ausgehend von 79.280 HIV-positiven und 399.600 HIV-negativen Personen zu überlegen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung ist, wenn auch der zweite Test positiv ausfällt. In der Realität wird das Ergebnis natürlich noch besser ausfallen, da sich nur Personen, die eine Erkrankung überhaupt für möglich halten, sich testen lassen werden.


Wenn Sie die von uns dargestellte Rechentechnik verinnerlicht haben, können Sie dem als "base-rate neglect" bekannten Denkfehler entgehen: Rechnen Sie beim nächsten anstehenden medizinischen Test einfach  “abstrakte” Wahrscheinlichkeiten in “konkrete” Personenzahlen um und bilden Sie entsprechende Verhältnisse.

Inara Dizdarevic, Clara Grote, Gabriel Kühn (EF)
Dr. Daniel Wieczorek (Fachschaft Mathematik)

 

Quellen

[1] Krebsinformationsdienst: Früherkennung von Darmkrebs. Abgerufen am 29.04.2018.

[2] Krebsinformationsdienst: Früherkennung von Darmkrebs. Abgerufen am 29.04.2018.

[3] Epidemiologisches Bulletin der Robert Koch-Instituts 47/2017

[4] Wassner, C.: Förderung Bayesianischen Denkens - Kognitionspsychologische Grundlagen und didaktische Analysen. Abgerufen am 12.02.2017.

[5] Gigerenzer, G.: Qualität der Gesundheitsinformationen für Bürger und Patienten. Vortrag beim Institut für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen. Abgerufen am 20.04.2018.

[6] Epidemiologisches Bulletin der Robert Koch-Instituts 22/2015